Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Вычисление интегралов. Замена переменных Интеграл метод замены переменной примеры

21.11.2023 | Windows 8

А способы приведения интегралов к табличным мы Вам перечислили:

метод замены переменной;

метод интегирования по частям;

Метод непосредственного интегрирования

способы представления неопределенных интегралов через табличные для интегралов от рациональных дробей;

методы представления неопределенных интегралов через табличные интегралы для интегралов от иррациональных выражений;

способы выражения неопределенных интегралов через табличные для интегралов от тригонометрических функций.

Неопределенный интеграл степенной функции

Неопределенный интеграл експоненты показательной функции

А вот неопределенный интеграл логарифма не является табличным интегралом, вместо него табличной является формула:

Неопределенные интегралы тригонометрических функций: Интегралы синуса косинуса и тангенса

Неопределенные интегралы с обратными тригонометрическими функциями

Приведение к табличному виду или метод непосредственного интегрирования . С помощью тождественных преобразований подынтегральной функции интеграл сводится к интегралу, к которому применимы основные правила интегрирования и возможно использование таблицы основных интегралов.

Пример

Задание. Найти интеграл

Решение. Воспользуемся свойствами интеграла и приведем данный интеграл к табличному виду.

Ответ.

Технически метод замены переменной в неопределенном интеграле реализуется двумя способами:

– Подведение функции под знак дифференциала. – Собственно замена переменной.

Подведение функции под знак дифференциала

Пример 2

Выполнить проверку.

Анализируем подынтегральную функцию. Здесь у нас дробь, причем в знаменателе линейная функция (с «иксом» в первой степени). Смотрим в таблицу интегралов и находим наиболее похожую вещь: .

Подводим функцию под знак дифференциала:

Те, кому трудно сразу сообразить, на какую дробь нужно домножать, могут быстренько на черновике раскрыть дифференциал: . Ага, получается , значит, чтобы ничего не изменилось, мне надо домножить интеграл на . Далее используем табличную формулу :

Проверка: Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно.

Пример 5

Найти неопределенный интеграл.

В качестве примера я взял интеграл, который мы рассматривали в самом начале урока. Как мы уже говорили, для решения интеграла нам приглянулась табличная формула , и всё дело хотелось бы свести к ней.

Идея метода замены состоит в том, чтобы сложное выражение (или некоторую функцию) заменить одной буквой. В данном случае напрашивается: Вторая по популярности буква для замены – это буква . В принципе, можно использовать и другие буквы, но мы всё-таки будем придерживаться традиций.

Итак: Но при замене у нас остаётся ! Наверное, многие догадались, что если осуществляется переход к новой переменной , то в новом интеграле всё должно быть выражено через букву , и дифференциалу там совсем не место. Следует логичный вывод, что нужно превратить в некоторое выражение, которое зависит только от .

Действие следующее. После того, как мы подобрали замену, в данном примере, , нам нужно найти дифференциал . С дифференциалами, думаю, дружба уже у всех налажена.

Так как , то

После разборок с дифференциалом окончательный результат рекомендую переписать максимально коротко: Теперь по правилам пропорции выражаем нужный нам :

В итоге: Таким образом: А это уже самый что ни на есть табличный интеграл (таблица, интегралов, естественно, справедлива и для переменной ).

В заключении осталось провести обратную замену. Вспоминаем, что .

Готово.

Чистовое оформление рассмотренного примера должно выглядеть примерно так:

“

Проведем замену:

“

Значок не несет никакого математического смысла, он обозначает, что мы прервали решение для промежуточных объяснений.

При оформлении примера в тетради надстрочную пометку обратной замены лучше выполнять простым карандашом.

Внимание! В следующих примерах нахождение дифференциала расписываться подробно не будет.

А теперь самое время вспомнить первый способ решения:

В чем разница? Принципиальной разницы нет. Это фактически одно и то же. Но с точки зрения оформления задания метод подведения функции под знак дифференциала – гораздо короче. Возникает вопрос. Если первый способ короче, то зачем тогда использовать метод замены? Дело в том, что для ряда интегралов не так-то просто «подогнать» функцию под знак дифференциала.

Интегрирование по частям. Примеры решений

Интегралы от логарифмов

Пример 1

Найти неопределенный интеграл.

Классика. Время от времени данный интеграл можно встретить в таблицах, но пользоваться готовым ответом нежелательно, так как у преподавателя весенний авитаминоз и он сильно заругается. Потому что рассматриваемый интеграл отнюдь не табличный – он берётся по частям. Решаем:

Прерываем решение на промежуточные объяснения.

Используем формулу интегрирования по частям:

Формула применяется слева направо

Смотрим на левую часть: . Очевидно, что в нашем примере (и во всех остальных, которые мы рассмотрим) что-то нужно обозначить за , а что-то за .

В интегралах рассматриваемого типа за всегда обозначается логарифм.

Технически оформление решения реализуется следующим образом, в столбик записываем:

То есть, за мы обозначили логарифм, а за – оставшуюся часть подынтегрального выражения.

Следующий этап: находим дифференциал :

Дифференциал – это почти то же самое, что и производная, как его находить, мы уже разбирали на предыдущих уроках.

Теперь находим функцию . Для того чтобы найти функцию необходимо проинтегрироватьправую часть нижнего равенства :

Теперь открываем наше решение и конструируем правую часть формулы: . Вот кстати, и образец чистового решения с небольшими пометками:

Единственный момент, в произведении я сразу переставил местами и , так как множитель принято записывать перед логарифмом.

Как видите, применение формулы интегрирования по частям, по сути дела, свело наше решение к двум простым интегралам.

Обратите внимание, что в ряде случаев сразу после применения формулы, под оставшимся интегралом обязательно проводится упрощение – в рассматриваемом примере мы сократили подынтегральное выражение на «икс».

Выполним проверку. Для этого нужно взять производную от ответа:

Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл решён правильно.

В ходе проверки мы использовали правило дифференцирования произведения: . И это не случайно.

Формула интегрирования по частям и формула – это два взаимно обратных правила.

Интегралы от экспоненты, умноженной на многочлен

Общее правило: за

Пример 5

Найти неопределенный интеграл.

Используя знакомый алгоритм, интегрируем по частям:

Если возникли трудности с интегралом , то следует вернуться к статье Метод замены переменной в неопределенном интеграле .

Единственное, что еще можно сделать, это «причесать» ответ:

Но если Ваша техника вычислений не очень хороша, то самый выгодный вариант оставить ответом или даже

То есть, пример считается решенным, когда взят последний интеграл. Ошибкой не будет, другое дело, что преподаватель может попросить упростить ответ.

Интегралы от тригонометрических функций, умноженных на многочлен

Общее правило: за всегда обозначается многочлен

Пример 7

Найти неопределенный интеграл.

Интегрируем по частям:

Хммм, …и комментировать нечего.

Тип занятия: изучение нового материала.

Учебно-воспитательные задачи:

научить учащихся применять метод интегрирования подстановкой;
продолжать формировать умения и навыки применения интегрирования функций;
продолжать формировать интерес к математике посредством решения задач;
воспитывать осознанное отношение к процессу обучения, прививать чувство ответственности за качество знаний, осуществлять самоконтроль за процессом решения и оформления упражнений;
напоминать, что только осознанное применение алгоритмов вычисления неопределенного интеграла позволит учащимся качественно усвоить изучаемую тему.

Обеспечение занятия:

таблица основных формул интегрирования;
карточки-задания для проверочной работы.

Студент должен знать: алгоритм вычисления неопределенного интеграла методом подстановки.

Студент должен уметь: применять полученные знания к вычислению неопределенных интегралов.

Мотивация познавательной деятельности студентов.

Преподаватель сообщает, что кроме метода непосредственного интегрирования существуют и другие методы вычисления неопределенных интегралов, одним из которых является метод подстановки. Это наиболее распространенный метод интегрирования сложной функции, состоящий в преобразовании интеграла с помощью перехода к другой переменной интегрирования.

Ход занятия

I . Организационный момент.

II . Проверка домашнего задания.

Фронтальный опрос:

III . Повторение опорных знаний учащихся.

1) Повторить таблицу основных формул интегрирования.

2) Повторить в чем заключается метод непосредственного интегрирования.

Непосредственным интегрированием называется такой способ интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

IV . Изучение нового материала.

Вычислить заданный интеграл непосредственным интегрированием удается далеко не всегда, а иногда это связано с большими трудностями. В этих случаях применяют другие приемы. Одним из наиболее эффективных приемов является метод подстановки или замены переменной интегрирования. Сущность этого метода заключается в том, что путем введения новой переменной интегрирования удается свести заданный интеграл к новому интегралу, который сравнительно легко берется непосредственно. Если после замены переменной интеграл стал проще, то цель подстановки достигнута. В основе интегрирования методом подстановки лежит формула

Рассмотрим этот метод.

Алгоритм вычисления неопределенного интеграла методом подстановки:

Определяют, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл (предварительно преобразовав подынтегральное выражение, если нужно).
Определяют, какую часть подынтегральной функции заменить новой переменной, и записывают эту замену.
Находят дифференциалы обеих частей записи и выражают дифференциал старой переменной (или выражение, содержащее этот дифференциал) через дифференциал новой переменной.
Производят замену под интегралом.
Находят полученный интеграл.
В результате производят обратную замену, т.е. переходят к старой переменной. Результат полезно проверять дифференцированием.

Рассмотрим примеры.

Примеры. Найти интегралы:

1) )4

Введем подстановку:

Дифференцируя это равенство, имеем:

V . Применение знаний при решении типовых примеров.

VI . Самостоятельное применение знаний, умений и навыков.

Вариант 1

Найти интегралы:

Вариант 2

Найти интегралы:

VII . Подведение итогов занятия.

VIII . Домашнее задание:

Г.Н. Яковлев, часть 1, §13.2, п.2, №13.13 (1,4,5), 13.15 (1,2,3)

Переходим к рассмотрению общего случая – метода замены переменных в неопределенном интеграле.

Пример 5

Идея метода замены состоит в том, чтобы сложное выражение (или некоторую функцию) заменить одной буквой .
В данном случае напрашивается:
Вторая по популярности буква для замены – это буква .
В принципе, можно использовать и другие буквы, но мы всё-таки будем придерживаться традиций.

Итак:
Но при замене у нас остаётся ! Наверное, многие догадались, что если осуществляется переход к новой переменной , то в новом интеграле всё должно быть выражено через букву , и дифференциалу там совсем не место.
Следует логичный вывод, что нужно превратить в некоторое выражение, которое зависит только от .

Так как , то

После разборок с дифференциалом окончательный результат рекомендую переписать максимально коротко:
Теперь по правилам пропорции выражаем нужный нам :

В итоге:
Таким образом:

А это уже самый что ни на есть табличный интеграл (таблица интегралов , естественно, справедлива и для переменной ).

В заключении осталось провести обратную замену. Вспоминаем, что .

Готово.

Чистовое оформление рассмотренного примера должно выглядеть примерно так:

“

Проведем замену:

“

При оформлении примера в тетради надстрочную пометку обратной замены лучше выполнять простым карандашом.

Внимание! В следующих примерах нахождение дифференциала расписываться подробно не будет.

А теперь самое время вспомнить первый способ решения:

В чем разница? Принципиальной разницы нет. Это фактически одно и то же. Но с точки зрения оформления задания метод подведения функции под знак дифференциала – гораздо короче .

Возникает вопрос. Если первый способ короче, то зачем тогда использовать метод замены? Дело в том, что для ряда интегралов не так-то просто «подогнать» функцию под знак дифференциала.

Пример 6

Найти неопределенный интеграл.

Проведем замену: (другую замену здесь трудно придумать)

Как видите, в результате замены исходный интеграл значительно упростился – свёлся к обычной степенной функции. Это и есть цель замены – упростить интеграл .

Ленивые продвинутые люди запросто решат данный интеграл методом подведения функции под знак дифференциала:

Другое дело, что такое решение очевидно далеко не для всех студентов. Кроме того, уже в этом примере использование метода подведения функции под знак дифференциала значительно повышает риск запутаться в решении .

Пример 7

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Пример 8

Найти неопределенный интеграл.

Замена:
Осталось выяснить, во что превратится

Хорошо, мы выразили, но что делать с оставшимся в числителе «иксом»?!
Время от времени в ходе решения интегралов встречается следующий трюк: мы выразим из той же замены !

Пример 9

Найти неопределенный интеграл.

Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока.

Пример 10

Найти неопределенный интеграл.

Наверняка некоторые обратили внимание, что в моей справочной таблице нет правила замены переменной. Сделано это сознательно. Правило внесло бы путаницу в объяснение и понимание, поскольку в вышерассмотренных примерах оно не фигурирует в явном виде.

Настало время рассказать об основной предпосылке использования метода замены переменной: в подынтегральном выражении должна находиться некоторая функцияи её производная : (функции , могут быть и не в произведении)

В этой связи при нахождении интегралов довольно часто приходится заглядывать в таблицу производных.

В рассматриваемом примере замечаем, что степень числителя на единицу меньше степени знаменателя. В таблице производных находим формулу , которая как раз понижает степень на единицу. А, значит, если обозначить за знаменатель, то велики шансы, что числитель превратится во что-нибудь хорошее.

Замена:

Кстати, здесь не так сложно подвести функцию под знак дифференциала:

Следует отметить, что для дробей вроде , такой фокус уже не пройдет (точнее говоря, применить нужно будет не только прием замены). Интегрировать некоторые дроби можно научиться на уроке Интегрирование некоторых дробей .

Вот еще пара типовых примеров для самостоятельного решения из той же оперы:

Пример 11

Найти неопределенный интеграл.

Пример 12

Найти неопределенный интеграл.

Решения в конце урока.

Пример 13

Найти неопределенный интеграл.

Смотрим в таблицу производных и находим наш арккосинус: . У нас в подынтегральном выражении находится арккосинус и нечто похожее на его производную.

Общее правило :
Заобозначаем саму функцию (а не её производную).

В данном случае: . Осталось выяснить, во что превратится оставшаяся часть подынтегрального выражения .

В этом примере нахождение я распишу подробно поскольку – сложная функция.

Или короче:
По правилу пропорции выражаем нужный нам остаток:

Таким образом:

Вот здесь подвести функцию под знак дифференциала уже не так-то просто.

Пример 14

Найти неопределенный интеграл.

Пример для самостоятельного решения. Ответ совсем близко.

Внимательные читатели заметили, что я рассмотрел мало примеров с тригонометрическими функциями. И это не случайно, поскольку под интегралы от тригонометрических функций отведён отдельный урок. Более того, на указанном уроке даны некоторые полезные ориентиры для замены переменной, что особенно актуально для чайников, которым не всегда и не сразу понятно, какую именно замену нужно проводить в том или ином интеграле. Также некоторые типы замен можно посмотреть в статье Определенный интеграл. Примеры решений .

Более опытные студенты могут ознакомиться с типовой заменой в интегралах с иррациональными функциями . Замена при интегрировании корней является специфической, и её техника выполнения отличается от той, которую мы рассмотрели на этом уроке.

Желаю успехов!

Пример 3: Решение :

Пример 4: Решение :

Пример 7: Решение :

Пример 9: Решение :

Замена:

Пример 11: Решение :

Проведем замену:

Пример 12: Решение :

Проведем замену:

Пример 14: Решение :

Проведем замену:

Интегрирование по частям. Примеры решений

И снова, здравствуйте. Сегодня на уроке мы научимся интегрировать по частям. Метод интегрирования по частям – это один из краеугольных камней интегрального исчисления. На зачете, экзамене студенту почти всегда предлагают решить интегралы следующих типов: простейший интеграл (см. статью Неопределенный интеграл. Примеры решений ) либо интеграл на замену переменной (см. статью Метод замены переменной в неопределенном интеграле ) либо интеграл как раз на метод интегрирования по частям .

Как всегда, под рукой должны быть: Таблица интегралов и Таблица производных . Если у Вас до сих пор их нет, то, пожалуйста, посетите кладовку моего сайта: Математические формулы и таблицы . Не устану повторять – лучше всё распечатать. Весь материал я постараюсь изложить последовательно, просто и доступно, в интегрировании по частям нет особых трудностей.

Какую задачу решает метод интегрирования по частям? Метод интегрирования по частям решает очень важную задачу, он позволяет интегрировать некоторые функции, отсутствующие в таблице, произведение функций, а в ряде случаев – и частное. Как мы помним, нет удобной формулы: . Зато есть такая: – формула интегрирования по частям собственной персоной. Знаю, знаю, ты одна такая – с ней мы и будем работать весь урок (уже легче).

4) , – обратные тригонометрические функции («арки»), «арки», умноженные на какой-нибудь многочлен.

Также по частям берутся некоторые дроби, соответствующие примеры мы тоже подробно рассмотрим.

Интегралы от логарифмов

Пример 1

Найти неопределенный интеграл.

Прерываем решение на промежуточные объяснения.

Используем формулу интегрирования по частям:

На данном уроке мы познакомимся с одним из самых важных и наиболее распространенных приемов, который применяется в ходе решения неопределенных интегралов – методом замены переменной. Для успешного освоения материала требуются начальные знания и навыки интегрирования. Если есть ощущение пустого полного чайника в интегральном исчислении, то сначала следует ознакомиться с материалом , где я объяснил в доступной форме, что такое интеграл и подробно разобрал базовые примеры для начинающих.

Технически метод замены переменной в неопределенном интеграле реализуется двумя способами:

– Подведение функции под знак дифференциала ;
– Собственно замена переменной .

По сути дела, это одно и то же, но оформление решения выглядит по-разному.

Начнем с более простого случая.

Подведение функции под знак дифференциала

На уроке Неопределенный интеграл. Примеры решений мы научились раскрывать дифференциал, напоминаю пример, который я приводил:

То есть, раскрыть дифференциал – это формально почти то же самое, что найти производную.

Пример 1

Выполнить проверку.

Смотрим на таблицу интегралов и находим похожую формулу: . Но проблема заключается в том, что у нас под синусом не просто буковка «икс», а сложное выражение. Что делать?

Подводим функцию под знак дифференциала:

Раскрывая дифференциал, легко проверить, что:

Фактически и – это запись одного и того же.

Но, тем не менее, остался вопрос, а как мы пришли к мысли, что на первом шаге нужно записать наш интеграл именно так: ? Почему так, а не иначе?

Формула (и все другие табличные формулы) справедливы и применимы НЕ ТОЛЬКО для переменной , но и для любого сложного выражения ЛИШЬ БЫ АРГУМЕНТ ФУНКЦИИ ( – в нашем примере) И ВЫРАЖЕНИЕ ПОД ЗНАКОМ ДИФФЕРЕНЦИАЛА БЫЛИ ОДИНАКОВЫМИ .

Поэтому мысленное рассуждение при решении должно складываться примерно так: «Мне надо решить интеграл . Я посмотрел в таблицу и нашел похожую формулу . Но у меня сложный аргумент и формулой я сразу воспользоваться не могу. Однако если мне удастся получить и под знаком дифференциала, то всё будет нормально. Если я запишу , тогда . Но в исходном интеграле множителя-тройки нет, поэтому, чтобы подынтегральная функция не изменилась, мне надо ее домножить на ». В ходе примерно таких мысленных рассуждений и рождается запись:

Теперь можно пользоваться табличной формулой :

Готово

Единственное отличие, у нас не буква «икс», а сложное выражение .

Выполним проверку. Открываем таблицу производных и дифференцируем ответ:

Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно.

Обратите внимание, что в ходе проверки мы использовали правило дифференцирования сложной функции . По сути дела подведение функции под знак дифференциала и – это два взаимно обратных правила .

Пример 2

Подводим функцию под знак дифференциала:

Те, кому трудно сразу сообразить, на какую дробь нужно домножать, могут быстренько на черновике раскрыть дифференциал: . Ага, получается , значит, чтобы ничего не изменилось, мне надо домножить интеграл на .
Далее используем табличную формулу :

Проверка:

Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно.

Пример 3

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Пример 4

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока.

При определенном опыте решения интегралов, подобные примеры будут казаться лёгкими, и щелкаться как орехи:

В конце данного параграфа хотелось бы еще остановиться на «халявном» случае, когда в линейной функции переменная входит с единичным коэффициентом, например:

Строго говоря, решение должно выглядеть так:

Как видите, подведение функции под знак дифференциала прошло «безболезненно», без всяких домножений. Поэтому на практике таким длинным решением часто пренебрегают и сразу записывают, что . Но будьте готовы при необходимости объяснить преподавателю, как Вы решали! Поскольку интеграла в таблице вообще-то нет.

Метод замены переменной в неопределенном интеграле

Переходим к рассмотрению общего случая – метода замены переменных в неопределенном интеграле.

Пример 5

Найти неопределенный интеграл.

Итак:
Но при замене у нас остаётся ! Наверное, многие догадались, что если осуществляется переход к новой переменной , то в новом интеграле всё должно быть выражено через букву , и дифференциалу там совсем не место.
Следует логичный вывод, что нужно превратить в некоторое выражение, которое зависит только от .

Так как , то

После разборок с дифференциалом окончательный результат рекомендую переписать максимально коротко:
Теперь по правилам пропорции выражаем нужный нам :

В итоге:
Таким образом:

А это уже самый что ни на есть табличный интеграл (таблица интегралов , естественно, справедлива и для переменной ).

В заключении осталось провести обратную замену. Вспоминаем, что .

Готово.

Чистовое оформление рассмотренного примера должно выглядеть примерно так:

“

Проведем замену:

“

При оформлении примера в тетради надстрочную пометку обратной замены лучше выполнять простым карандашом.

Внимание! В следующих примерах нахождение дифференциала расписываться подробно не будет.

А теперь самое время вспомнить первый способ решения:

Пример 6

Найти неопределенный интеграл.

Проведем замену: (другую замену здесь трудно придумать)

Ленивые продвинутые люди запросто решат данный интеграл методом подведения функции под знак дифференциала:

Пример 7

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Пример 8

Найти неопределенный интеграл.

Пример 9

Найти неопределенный интеграл.

Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока.

Пример 10

Найти неопределенный интеграл.

Настало время рассказать об основной предпосылке использования метода замены переменной: в подынтегральном выражении должна находиться некоторая функция и её производная : (функции , могут быть и не в произведении)

В этой связи при нахождении интегралов довольно часто приходится заглядывать в таблицу производных.

Переходим к рассмотрению общего случая – метода замены переменных в неопределенном интеграле.

Пример 5

В качестве примера возьмём интеграл, который мы рассматривали в самом начале урока. Как мы уже говорили, для решения интеграла нам приглянулась табличная формула ,

и всё дело хотелось бы свести к ней.

Идея метода замены состоит в том, чтобы сложное выражение (или некоторую функцию) заменить одной буквой.

В данном случае напрашивается:

Вторая по популярности буква для замены – это буква z . В принципе, можно использовать и другие буквы, но мы всё-таки будем придерживаться традиций.

Но при замене у нас остаётся dx ! Наверное, многие догадались, что если осуществляется переход к новой переменной t , то в новом интеграле всё должно быть выражено через букву t , и дифференциалу dx там совсем не место. Следует логичный вывод, что dx нужно превратить в некоторое выражение, которое зависит только от t .

Действие следующее. После того, как мы подобрали замену, в данном примере - это , нам нужно найти дифференциал dt .

Теперь по правилам пропорции выражаем dx :

Таким образом:

А это уже самый что ни на есть табличный интеграл

(таблица, интегралов, естественно, справедлива и для переменной t ).

В заключении осталось провести обратную замену. Вспоминаем, что .

Чистовое оформление рассмотренного примера должно выглядеть примерно так:

Проведем замену: , тогда

При оформлении примера в тетради надстрочную пометку обратной замены лучше выполнять простым карандашом.

Внимание! В следующих примерах нахождение дифференциала новой переменной расписываться подробно не будет.

Вспомнить первый способ решения:

В чем разница? Принципиальной разницы нет. Это фактически одно и то же.

Но, с точки зрения оформления задания, метод подведения функции под знак дифференциала гораздо короче.

Пример 6

Найти неопределенный интеграл.

Проведем замену:

;

Ленивые продвинутые люди запросто решат данный интеграл методом подведения функции под знак дифференциала:

Пример 7

Найти неопределенный интеграл

Выполнить проверку.

Пример 8

Найти неопределенный интеграл.

Решение: Производим замену: .

Осталось выяснить, во что превратится xdx ? Время от времени в ходе решения интегралов встречается следующий трюк: x мы выразим из той же замены :

Пример 9

Найти неопределенный интеграл.

Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока.

Пример 10

Найти неопределенный интеграл .

Наверняка некоторые обратили внимание, что в справочной таблице нет правила замены переменной. Сделано это сознательно. Правило внесло бы путаницу в объяснение и понимание, поскольку в вышерассмотренных примерах оно не фигурирует в явном виде.

Ф ункции , могут быть и не в произведении, а в ином сочетании.

В этой связи при нахождении интегралов довольно часто приходится заглядывать в таблицу производных.

В рассматриваемом Примере 10 замечаем, что степень числителя на единицу меньше степени знаменателя. В таблице производных находим формулу , которая как раз понижает степень на единицу. А, значит, если обозначить за t знаменатель, то велики шансы, что и числитель xdx превратится во что-нибудь хорошее:

Замена: .

Кстати, здесь не так сложно подвести функцию под знак дифференциала:

Следует отметить, что для дробей вроде , такой фокус уже не пройдет (точнее говоря, применить нужно будет не только прием замены).

Интегрировать некоторые дроби можно научиться на уроке Интегрирование сложных дробей . Вот еще пара типовых примеров для самостоятельного решения на тот же метод.

Пример 11

Найти неопределенный интеграл

Пример 12

Найти неопределенный интеграл

Решения в конце урока.

Пример 13

Найти неопределенный интеграл

Смотрим в таблицу производных и находим наш арккосинус: , поскольку у нас в подынтегральном выражении находится арккосинус и нечто, похожее на его производную.

Общее правило:

За t обозначаем саму функцию (а не её производную).

В данном случае: . Осталось выяснить, во что превратится оставшаяся часть подынтегрального выражения

В этом примере нахождение dt распишем подробно, поскольку – сложная функция:

Или, короче:

По правилу пропорции выражаем нужный нам остаток: .

Таким образом:

Пример 14

Найти неопределенный интеграл.

Пример для самостоятельного решения. Ответ совсем близко.

Внимательные читатели заметили, что мы рассмотрели мало примеров с тригонометрическими функциями. И это не случайно, поскольку под интегралы от тригонометрических функций отведёны отдельные уроки 7.1.5, 7.1.6, 7.1.7. Более того, далее даны некоторые полезные ориентиры для замены переменной, что особенно актуально для чайников, которым не всегда и не сразу понятно, какую именно замену нужно проводить в том или ином интеграле. Также некоторые типы замен можно посмотреть в статье 7.2.

Более опытные студенты могут ознакомиться с типовой заменой в интегралах с иррациональными функциями